Решение уравнений и систем уравнений с помощью приближенных вычислений

Откройте рабочую книгу "Решение уравнений" и загрузите себе копию.

Рассмотрим нахождение корней уравнения:

Так как мы ищем корни полинома третьей степени, то имеются не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их первоначально надо локализовать, то есть найти интервалы, на которых они существуют. Такими интервалами локализации корней могут служить промежутки, на концах которых функция имеет противоположный знак. 

С целью нахождения интервалов, на концах которых функция изменяет знак, необходимо построить ее график или протабулировать ее. Составим таблицу значений функции на интервале [-1;1] с шагом 0,2. Для этого необходимо:

• Ввести  в ячейку A2 значение -1, а в ячейку A3 значение -0,8.
• Выбрать диапазон A2:A3, расположить указатель мыши на маркере заполнения этого диапазона и протянуть его на диапазон A4:A12, аргумент протабулирован.
• В ячейку B2 ввести формулу: =A2^3-0,01*A2^2-0,7044*A2+0,139104
• Выбрать ячейку B2. Расположить указатель мыши на маркере заполнения этой ячейки и протянуть его на диапазон B3:B12. Функция также протабулирована.

Значение аргумента х	Значение функции у
-1,00	-0,1665
-0,8	0,1842
-0,60	0,3421
-0,4	0,3553
-0,20	0,2716
0	0,1391
0,20	0,0058
0,4	-0,0803
0,60	-0,0711
0,8	0,0812
1,00	0,4247

Из таблицы видно, что полином меняет знак на интервалах [-1; -0,8], [0,2; 0,4] и [0,6; 0,8], и поэтому на каждом из этих интервалов имеется свой корень. Так как полином третьей степени имеет не более трех корней, то они все локализованы.

Прежде чем приступить к нахождению корней при помощи подбора параметра, необходимо выполнить некоторую подготовительную работу:

• Установить точность, с которой находится корень. Корень при помощи подбора параметра находится методом последовательных приближений. Для этого в Настройке панели быстрого доступа / Другие команды, и на вкладке Формулы диалогового окна Параметры Excel задайте в Параметрах вычислений относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000, соответственно.
• Отвести на рабочем листе ячейку, например С2, под искомый корень. Эта ячейка будет играть двойную роль. До применения подбора параметра в ней находится начальное приближение к корню уравнения, а после применения – найденное приближенное значение корня.

Корень при помощи подбора параметра находим методом последовательных приближений. Поэтому в ячейку C2 надо ввести значение, являющееся приближением к искомому корню. В нашем случае, первым отрезком локализации корня является [-1;-0,8]. Следовательно, за начальное приближение к корню разумно взять среднюю точку этого отрезка -0,9.

• Отвести ячейку, например D2, под функцию, для которой ведется поиск корня, причем вместо неизвестной у этой функции должна указываться ссылку на ячейку, отведенную под искомый корень. Таким образом, в ячейку D2 введите формулу: =C2^3-0,01*C2^2-0,7044*C2+0,139104

Аналогично надо поступить с двумя другими искомыми корнями:

• Отвести ячейку C8 под второй корень, ввести в нее начальное приближение 0,3, а в ячейку D8 ввести следующую формулу: =C8^3-0,01*C8^2-0,7044*C8+0,139104
• Отвести ячейку C10 под второй корень, ввести в нее начальное приближение 0,7, а в ячейку D10  ввести следующую формулу: =C10^3-0,01*C10^2-0,7044*C10+0,139104

Результаты выполненных действий приведены в таблице:

Значение х	Значение у	Начальное приближение до применения метода	Значение функции
-1,00	-0,1665	-0,9	0,0360
-0,8	0,1842
-0,60	0,3421
-0,4	0,3553
-0,20	0,2716
0	0,1391
0,20	0,0058	0,3	-0,0461
0,4	-0,0803
0,60	-0,0711	0,7	-0,0159
0,8	0,0812
1,00	0,4247

Теперь можно переходить к нахождению первого корня уравнения:

• Выберите команду Подбор параметра. На экране отобразится диалоговое окно Подбор параметра.
• В поле Установить в ячейке введите ссылку на ячейку D2. В этом поле дается ссылка на ячейку, в которой введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. Для нахождения корня с помощью подбора параметра уравнение надо представить в таком виде, чтобы его правая часть не содержала переменную.
• В поле Значение введите 0. Здесь указывается значение из правой части уравнения.
• В поле Изменяя значение ячейки введите C2. В данном поле приводится ссылка на ячейку, отведенную под переменную.
• Нажмите кнопку OK.

На экране отображается окно Результат подбора параметра. Кроме того, рассматриваемое средство помещает найденное приближенное значение корня в ячейку C2. В данном случае оно равно -0,920. Аналогично в ячейках C8 и C10 находятся два оставшихся корня. Они равны 0,210 и 0,721.

Значение х	Значение у	Корень уравнения	Значение функции
-1,00	-0,1665	-0,920	0,00
-0,8	0,1842
-0,60	0,3421
-0,4	0,3553
-0,20	0,2716
0	0,1391
0,20	0,0058	0,210	0,00
0,4	-0,0803
0,60	-0,0711	0,721	0,00
0,8	0,0812
1,00	0,4247